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2011江苏高考:解析几何圆锥曲线

来源:扬州晚报 2010-12-02 13:58:20

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  【考试说明】

  江苏新高考对圆锥曲线的要求大为降低,尤其是双曲线和抛物线,主要以小题形式考查,只要掌握标准方程和几何性质;

  椭圆、圆与函数、不等式、向量等其他知识结合应引起足够的重视,主要考查运算能力、逻辑推理能力以及数形结合、等价转化、分类讨论等能力。

  【典型例题】

  1.过双曲线C:

  的一个焦点作圆 的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为 .

  点拨:由题意画出图像,选取双曲线的一个焦点,作出图形,根据几何关系得到ɑ,c的关系.

  答案:2

  2.已知椭圆的方程为 ,如果

  直线 与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率为 .

  点拨:焦点在x轴,c2=16-m2,右交点坐标 ,代入椭圆方程求出m2得离心率.

  答案:

  3.设椭圆 上一点P到左准线的距离为10, F是该椭圆的左焦点,若点M满足 ,则 .

  点拨:本题充分利用椭圆的两个定义,注意结合图形。由椭圆第二定义得P到左焦点F 距离为6,由第一定义得P到右焦点距离为4, OM是∠FPF的中位线.

  答案:2

  4.一动圆与圆 外切,同时与圆 内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .

  点拨:设动圆圆心为 ,半径为R,设已知圆的圆心分别为O1、O2,可得方程

  所以点M的轨迹是椭圆.

  答案: 。

  5.已知椭圆 的离心率为 ,过右焦点F的直线 与C相交于A、B两点,当直线 的斜率为1时,坐标原点O到 的距离为 .

  (Ⅰ)求ɑ,b的值;

  (Ⅱ)C上是否存在点P,使得当 绕F转到某一位置时,有 成立?若存在,求出所有的P的坐标与 的方程;若不存在,说明理由.

  点拨:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理。

  解:(Ⅰ)设F(c,0),当 的斜率为1时,其方程为 ,O到 的距离为

  (Ⅱ)C上存在点P,使得当 绕F转到某一位置时,有 成立

  由 (Ⅰ)知C的方程为

  设

  (ⅰ) 当 不垂直x轴时,设 的方程为y=k(x-1)

  C上的点P使 成立的充要条件是P点的坐标为 , 且

  整理得

  又A、B在C上,即

  故 ①

  将y=k(x-1)代入 , 并代简得,

  于是 , = ,

  代入①解得,k2=2,此时 于是

  , 即

  因此,当 时, ,

  的方程为

  当 时, ,

  的方程为

  (ⅱ)当 垂直于x轴时,由

  知,C上不存在点P使 成立.

  综上,C上存在点 使

  成立,此时 的方程为

  6.如图已知椭圆

  的左顶点,右焦点分别为A、F,右准线为m,圆D: .⑴若圆D过A、F两点,求椭圆C的方程;

  ⑵若直线m上不存在点Q,使AFQ为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围;

  ⑶在⑴的条件下,若直线m与x轴的交点为K,将直线 绕K顺时针旋转 得直线

  ,动点P在直线

  上,过P作圆D的两条切线,切点分别为M、N,求弦长MN的最小值.

  点拨:⑵直线m上不存在点Q,使AFQ为等腰三角形即FQ≥FA恒成立.

  ⑶利用几何性质构建弦长MN的函数求最值.

  解:⑴圆 与x轴交点 ,

  故 所以 ,椭圆方程是:

  ;

  ⑵设直线m与

  x轴的交点是Q,

  依题意 FQ≥FA

  即

  ⑶直线 的方程是 ,圆D的圆心是 ,半径是

  设MN与PD相交于H,则H是MN的中点且PM⊥MD

  当且仅当PD最小时MN有最小值, PD最小值即D到 的距离

  所以MN的最小值是

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